Géométrie


Définitions et concepts

Un vecteur est une ligne directionnelle qui est défini 2 coordonnées.


Multiplier un vecteur par un nombre k change sa longueur de k fois. Lorsque \(k < 0\) le vecteur se développera.

La longueur d'un vecteur est calculée par la formule \(\sqrt {x^2 + y^2} \). 

Vecteur normalisé - un vecteur de longueur unitaire, obtenu en divisant un vecteur par sa longueur.

La somme des vecteurs est obtenue en construisant un deuxième vecteur à partir de la fin du premier et en mettant le vecteur dans le point résultant.< /p>

Si x1, y1, x 2, y2 - coordonnées des premier et deuxième vecteurs, respectivement, alors leur somme est un vecteur avec des coordonnées \((x_1 + x_2) \)et \((y_1 + y_2) \).

Différence vectorielle - la somme où le deuxième vecteur est inversé (multiplié par -1).

Produit scalaire de vecteurs - nombre, projection d'un vecteur sur un autre multiplié par sa longueur. Dans le cas le plus simple de l'espace euclidien ordinaire, l'espace "géométrique" est parfois utilisé. définition du produit scalaire des vecteurs non nuls a et b comme le produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux :  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

Pour le produit scalaire par un vecteur, la formule suivante est vraie :
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
où x1, y1, x2 >, y2 - les coordonnées du premier et du deuxième vecteur, respectivement, vous permettent de déterminer si le deuxième vecteur se trouve dans le même demi-plan que le premier.< /p>

Produit croisé de vecteurs - un vecteur dans un espace tridimensionnel perpendiculaire aux deux vecteurs, de longueur égale à la zone orientée du parallélogramme construit sur ces vecteurs. Le produit des longueurs des vecteurs par le sinus de l'angle qui les sépare, et le signe de ce sinus dépend de l'ordre des opérandes :  alpha\) 

Si calculé à l'aide de coordonnées :
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
où x1, y1, x2 >, y2 - les coordonnées du premier et du deuxième vecteur, respectivement, vous permettent de déterminer de quel côté de la ligne sur lequel se trouve le premier vecteur, le deuxième vecteur est situé . Permet également de trouver l'aire orientée des triangles et des parallélogrammes.

La rotation d'un vecteur est réalisée grâce à la magie noire des adeptes secrets de la géométrie Lobachevsky.
Pour faire pivoter un vecteur de \(\alpha\) dans le sens antihoraire (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), habituez-vous aux angles en radians), vous devez multiplier le vecteur par cette matrice :
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

Que signifie multiplier un vecteur par une matrice ? Disons que les coordonnées de notre vecteur sont x et y, alors le produit de ce vecteur et de notre matrice sera égal au vecteur avec les coordonnées x' ; et y' :
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)

Nous obtenons donc un nouveau vecteur d'exactement la même longueur, mais déjà tourné d'un angle A dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Training problem

Changement d'horloge

La ligne peut être définie de 5 manières différentes :
1) équation \( y = kx + b\) ; la toute première équation d'une droite enseignée à l'école est pratique pour la construction et le calcul manuel, mais son utilisation dans un programme est très gênante ;
2) par 2 points allongés dessus - en fait assez pratique, mais a une application plutôt étroite ;
3) par le vecteur normal d'une droite et d'un point - le vecteur normal à une droite est un vecteur perpendiculaire à celle-ci, plus à ce sujet ci-dessous ;
4) le long du vecteur directeur de la droite et du point - le vecteur directeur est un vecteur se trouvant sur la droite et perpendiculaire au vecteur normal (enfin, logique), à ​​ce sujet ci-dessous ;
5) équation d'une droite \(ax + by + c = 0\) ; l'équation classique d'une droite, dans la plupart des cas la plus universelle. Maintenant à propos de lui.

Coordonnées du vecteur normal d'une telle droite : \((a; b)\) ou \( (-a; -b)\).

Coordonnées du vecteur directeur d'une telle ligne : \((-b; a)\) ou \ ((b; -a)\).

Les lignes sont parallèles si :
\({a1 \over b1} = {a2 \over b2}\).

Distance d'un point à une ligne (attention : la distance peut être négative, tout dépend de quel côté de la ligne se trouve le point) :
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
où x1, y1 sont les coordonnées du point.

Construire une ligne à partir d'un vecteur normal et d'un point, ou d'un vecteur directeur et d'un point, revient à construire une ligne à partir de 2 points, alors regardons-y (c'est aussi le plus couramment utilisé ).< /p>

Si x1, y1, x 2, y2 - coordonnées respectivement des premier et deuxième points, puis

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

Training problem

Lazy Vasya et la sortie de Half-Life 3

Intersection

Point d'intersection de lignes

a1, b1, c1 - coefficients de la première ligne,
a2, b2, c2 - les coefficients de la deuxième ligne,
x, y - point d'intersection.

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

Nous savons déjà comment vérifier l'intersection des lignes (elles ne sont pas parallèles) et trouver leur point d'intersection.

Apprenons maintenant à faire cela avec des segments. 

Tout d'abord, apprenons à vérifier simplement leur intersection.

Les segments se croisent si les extrémités de l'un sont sur les côtés opposés de l'autre et vice versa (ceci est facilement vérifié par le produit croisé).  Le seul cas où cela ne fonctionnera pas - les segments se trouvent sur une ligne droite. Pour cela, vous devez vérifier l'intersection de ce qu'on appelle. boîte englobante (boîte englobante du segment) - vérifie l'intersection de la projection des segments sur X et Y.

haches.

Maintenant que nous savons comment vérifier l'intersection des segments, apprenons à trouver le point (ou segment) de leur intersection :
- s'ils ne se coupent pas, alors il est clair qu'un tel point n'existe pas ;
- sinon, nous construirons des droites sur lesquelles reposent ces segments.

S'ils sont parallèles, alors les segments se trouvent sur la même ligne, et nous devons trouver le segment d'intersection - du maximum des bords gauches des segments au minimum des bords droits (le point est inférieur à l'autre point, s'il est à gauche, en cas d'égalité X-coordonnées - s'il est inférieur).

Si les lignes ne sont pas parallèles, trouvez le point de leur intersection et renvoyez-le.

Training problem

Maître de ramassage