परिभाषाएँ और अवधारणाएँ
एक वेक्टर एक दिशात्मक रेखा है जो परिभाषित 2 निर्देशांक।
किसी सदिश को किसी संख्या k से गुणा करने पर उसकी लंबाई k बार बदल जाती है। जब \(k < 0\) वेक्टर का विस्तार होगा।
वेक्टर की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है \(\sqrt {x^2) + y^2} \)।
सामान्यीकृत वेक्टर - इकाई लंबाई का एक वेक्टर, एक वेक्टर को उसकी लंबाई से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
सदिशों का योग पहले के अंत से दूसरे वेक्टर का निर्माण करके और वेक्टर को परिणामी बिंदु पर रखकर प्राप्त किया जाता है।< /पी>
अगर x1, y1, x 2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वैक्टर के निर्देशांक, फिर उनका योग निर्देशांक के साथ एक वेक्टर है \((x_1 + x_2) \)और \((y_1 + y_2) \)।
वेक्टर अंतर - वह योग जहां दूसरा वेक्टर उल्टा होता है (-1 से गुणा)।
सदिशों का डॉट गुणनफल - संख्या, एक वेक्टर का दूसरे पर प्रक्षेपण उसकी लंबाई से गुणा। साधारण यूक्लिडियन स्थान के सबसे सरल मामले में, कभी-कभी "ज्यामितीय" स्थान का उपयोग किया जाता है। गैर-शून्य वैक्टर a और b के अदिश गुणनफल की परिभाषा, इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल के रूप में:
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\)।
सदिश द्वारा डॉट उत्पाद के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
जहां x1, y1, x2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वेक्टर के निर्देशांक, आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या दूसरा वेक्टर पहले वाले के समान आधे विमान में स्थित है।< /पी>
सदिशों का क्रॉस गुणनफल - दोनों सदिशों के लम्बवत् त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश, लंबाई के उन्मुख क्षेत्र के बराबर इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा सदिशों की लंबाई का गुणनफल, और इस ज्या का चिन्ह ऑपरेंड के क्रम पर निर्भर करता है: alpha\)
यदि निर्देशांक का उपयोग करके गणना की जाती है:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
जहां x1, y1, x2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वेक्टर के निर्देशांक, आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि लाइन के किस तरफ पहला वेक्टर स्थित है, दूसरा वेक्टर स्थित है . साथ ही आपको त्रिभुजों और समांतर चतुर्भुजों के उन्मुख क्षेत्र का पता लगाने की अनुमति देता है।
सदिश का घूर्णन लोबचेव्स्की ज्यामिति के गुप्त अनुयायियों के काले जादू का उपयोग करके किया जाता है।
सदिश को \(\alpha\) वामावर्त घुमाने के लिए (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\) ), रेडियन में कोणों की आदत डालें), आपको इस मैट्रिक्स द्वारा वेक्टर को गुणा करने की आवश्यकता है:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /पी>
एक सदिश को एक आव्यूह से गुणा करने का क्या अर्थ है? मान लें कि हमारे वेक्टर के निर्देशांक x और y हैं, तो इस वेक्टर और हमारे मैट्रिक्स का गुणनफल निर्देशांक x' वाले वेक्टर के बराबर होगा ; और y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)
तो हमें ठीक उसी लंबाई का एक नया वेक्टर मिलता है, लेकिन पहले से ही कोण A द्वारा वामावर्त घुमाया जाता है।