ज्यामिति

परिभाषाएँ और अवधारणाएँ

किसी सदिश को किसी संख्या k से गुणा करने पर उसकी लंबाई k बार बदल जाती है। जब \(k < 0\) वेक्टर का विस्तार होगा।

वेक्टर की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है \(\sqrt {x^2) + y^2} \)। 

सामान्यीकृत वेक्टर - इकाई लंबाई का एक वेक्टर, एक वेक्टर को उसकी लंबाई से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

सदिशों का योग पहले के अंत से दूसरे वेक्टर का निर्माण करके और वेक्टर को परिणामी बिंदु पर रखकर प्राप्त किया जाता है।< /पी>

अगर x1, y1, x 2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वैक्टर के निर्देशांक, फिर उनका योग निर्देशांक के साथ एक वेक्टर है \((x_1 + x_2) \)और \((y_1 + y_2) \)।

वेक्टर अंतर - वह योग जहां दूसरा वेक्टर उल्टा होता है (-1 से गुणा)।

सदिशों का डॉट गुणनफल - संख्या, एक वेक्टर का दूसरे पर प्रक्षेपण उसकी लंबाई से गुणा। साधारण यूक्लिडियन स्थान के सबसे सरल मामले में, कभी-कभी "ज्यामितीय" स्थान का उपयोग किया जाता है। गैर-शून्य वैक्टर a और b के अदिश गुणनफल की परिभाषा, इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल के रूप में:  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\)।

सदिश द्वारा डॉट उत्पाद के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
जहां x1, y1, x2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वेक्टर के निर्देशांक, आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या दूसरा वेक्टर पहले वाले के समान आधे विमान में स्थित है।< /पी>

सदिशों का क्रॉस गुणनफल - दोनों सदिशों के लम्बवत् त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश, लंबाई के उन्मुख क्षेत्र के बराबर इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा सदिशों की लंबाई का गुणनफल, और इस ज्या का चिन्ह ऑपरेंड के क्रम पर निर्भर करता है:   alpha\) 

यदि निर्देशांक का उपयोग करके गणना की जाती है:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
जहां x1, y1, x2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे वेक्टर के निर्देशांक, आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि लाइन के किस तरफ पहला वेक्टर स्थित है, दूसरा वेक्टर स्थित है . साथ ही आपको त्रिभुजों और समांतर चतुर्भुजों के उन्मुख क्षेत्र का पता लगाने की अनुमति देता है।

सदिश का घूर्णन लोबचेव्स्की ज्यामिति के गुप्त अनुयायियों के काले जादू का उपयोग करके किया जाता है।
सदिश को \(\alpha\) वामावर्त घुमाने के लिए (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\) ), रेडियन में कोणों की आदत डालें), आपको इस मैट्रिक्स द्वारा वेक्टर को गुणा करने की आवश्यकता है:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /पी>

एक सदिश को एक आव्यूह से गुणा करने का क्या अर्थ है? मान लें कि हमारे वेक्टर के निर्देशांक x और y हैं, तो इस वेक्टर और हमारे मैट्रिक्स का गुणनफल निर्देशांक x' वाले वेक्टर के बराबर होगा ; और y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)

ऐसी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक: \((a; b)\) या \( (-a; -b)\)।

ऐसी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक: \((-b; a)\) या \ ((बी; -ए)\)।

रेखाएं समानांतर हैं यदि:
\({a1 \over b1} = {a2 \over b2}\)।

एक बिंदु से रेखा की दूरी (सावधान रहें: दूरी ऋणात्मक हो सकती है, यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि बिंदु रेखा के किस तरफ स्थित है):
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
जहाँ x1, y1 बिंदु के निर्देशांक हैं।

एक सामान्य वेक्टर और एक बिंदु, या एक दिशा वेक्टर और एक बिंदु से एक रेखा का निर्माण करना, 2 बिंदुओं से एक रेखा बनाने के लिए नीचे आता है, तो आइए इसे देखें (यह सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला भी है .

अगर x1, y1, x 2, y2 - क्रमशः पहले और दूसरे बिंदुओं के निर्देशांक, फिर

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

चौराहा

a1, b1, c1 - पहली पंक्ति के गुणांक,
a2, b2, c2 - दूसरी पंक्ति के गुणांक,
x, y - चौराहा बिंदु।

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

हम पहले से ही जानते हैं कि चौराहे के लिए लाइनों की जांच कैसे करें (वे समानांतर नहीं हैं), और उनके चौराहे का बिंदु खोजें।

आइए अब सीखें कि इसे सेगमेंट के साथ कैसे करें। 

पहले, आइए जानें कि उन्हें प्रतिच्छेदन के लिए आसानी से कैसे जांचें।

खंड प्रतिच्छेद करते हैं यदि एक के सिरे दूसरे के विपरीत दिशा में हैं और इसके विपरीत (इसे क्रॉस उत्पाद द्वारा आसानी से जांचा जाता है)।  एकमात्र मामला जब यह काम नहीं करेगा - खंड एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसके लिए, आपको तथाकथित के चौराहे की जांच करने की आवश्यकता है। बाउंडिंग बॉक्स (सेगमेंट का बाउंडिंग बॉक्स) - X और Y पर सेगमेंट के प्रोजेक्शन के इंटरसेक्शन की जांच करें।

अब जब हम जानते हैं कि चौराहे के लिए खंडों की जांच कैसे की जाती है, तो आइए जानें कि उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु (या खंड) को कैसे खोजें:
- यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो यह स्पष्ट है कि ऐसा बिंदु मौजूद नहीं है;
- अन्यथा, हम उन सीधी रेखाओं का निर्माण करेंगे जिन पर ये खंड स्थित हैं।

यदि वे समानांतर हैं, तो खंड एक ही रेखा पर स्थित हैं, और हमें प्रतिच्छेदन खंड को खोजने की आवश्यकता है - खंडों की अधिकतम बाईं सीमाओं से न्यूनतम दाईं सीमाओं तक ( बिंदु दूसरे बिंदु से कम है, यदि यह बाईं ओर है, समानता के मामले में X-निर्देशांक - यदि यह कम है)।