Module: ジオメトリ

定義と概念

ベクトルに数値 k を掛けると、その長さが k 倍変化します。\(k < 0\) ベクトルが展開されます。

ベクトルの長さは、式\(\sqrt {x^2) で計算されます。 + y^2} \). 

正規化ベクトル - ベクトルをその長さで割ることによって得られる単位長のベクトル。

ベクトルの合計は、最初のベクトルの末尾から 2 番目のベクトルを作成し、そのベクトルを結果の点に入れることで取得されます。< /p>

If x1、y1、x 2、y2 - それぞれ最初と 2 番目のベクトルの座標。それらの合計は座標 \((x_1 + x_2) \) と \((y_1 + y_2) \)。

ベクトルの差 - 2 番目のベクトルを反転した合計 (-1 を乗算)。

ベクトルの内積 - あるベクトルを別のベクトルに投影し、その長さを乗算した数値。通常のユークリッド空間の最も単純なケースでは、「幾何学的」空間が使用されることがあります。非ゼロベクトル a と b  のスカラー積を、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度のコサインの積として定義します。  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

ベクトルによるドット積の場合、次の式が当てはまります。
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
ここで、x1、y1、x2 >、y2 - 最初と 2 番目のベクトルの座標をそれぞれ使用すると、2 番目のベクトルが最初のベクトルと同じ半平面にあるかどうかを判断できます。< /p>

ベクトルの外積 - 両方のベクトルに垂直な 3 次元空間内のベクトル。長さは、これらのベクトルに基づいて構築された平行四辺形。ベクトルの長さとベクトル間の角度の正弦との積、およびこの正弦の符号はオペランドの順序によって異なります:   alpha\) 

座標を使用して計算した場合:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
ここで、x1、y1、x2 >、y2 - 最初と 2 番目のベクトルの座標をそれぞれ使用すると、最初のベクトルが線のどちら側にあるのか、2 番目のベクトルが位置するのかを判断できます。 。また、三角形や平行四辺形の向きのある領域を見つけることもできます。

ベクトルの回転 は、ロバチェフスキー幾何学の秘密の熟練者の黒魔術を使用して実行されます。
ベクトルを反時計回りに \(\alpha\) だけ回転するには (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ )、ラジアン単位の角度に慣れてください)、ベクトルに次の行列を乗算する必要があります。
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

ベクトルと行列を乗算するとはどういう意味ですか?ベクトルの座標が x と y であるとします。このベクトルと行列の積は、座標 x' のベクトルと等しくなります。 ; と y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)