几何学

定义 和概念

将一个向量乘以一个数k是将它的长度改变k次。 当\(k < 0\) 向量将扩展。

向量的长度 由公式 \(\sqrt {x^2 + y^2} \). 

Normalized vector -单位长度的向量，通过向量除以它的长度得到。

向量之和是通过从第一个向量的末尾构建第二个向量，并将该向量放入结果点中获得的。< /p>

如果 x1, y1, x 2, y2 - 分别是第一个和第二个向量的坐标，然后它们的总和是坐标为 \((x_1 + x_2) \)和\((y_1 + y_2) \)。

矢量差 - 第二个矢量反转后的总和（乘以 -1）。

向量的点积 - 数字，一个向量在另一个向量上的投影乘以它的长度。在普通欧几里德空间的最简单情况下，有时会使用“几何”空间。非零向量 a 和 b 的标量积定义为这些向量的长度与它们之间夹角的余弦值的乘积：  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\)。

对于向量的点积，以下公式成立：
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
其中x1, y1, x2 >, y2 - 第一个和第二个矢量的坐标，分别允许您确定第二个矢量是否与第一个矢量位于同一半平面。< /p>

向量的叉积 - 垂直于两个向量的三维空间中的向量，长度等于 的定向面积基于这些向量构建的平行四边形。向量的长度乘以它们之间夹角的正弦，这个正弦的符号取决于操作数的顺序：   alpha\) 

如果使用坐标计算：
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
其中x1, y1, x2 >, y2 - 第一个和第二个向量的坐标，分别允许您确定第一个向量位于直线的哪一侧，第二个向量位于.还可以让您找到三角形和平行四边形的定向区域。

矢量的旋转 是使用 Lobachevsky 几何学的秘密专家的黑魔法执行的。
逆时针旋转向量 \(\alpha\) (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ )，习惯以弧度为单位的角度），你需要用这个矩阵乘以向量：
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

向量乘以矩阵是什么意思？假设我们向量的坐标是 x 和 y，那么这个向量和我们的矩阵的乘积将等于坐标为 x' 的向量; 和 y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)

这样一条线的法向量坐标：\((a; b)\) 或 \( (-a; -b)\)。

这样一条线的方向向量坐标：\((-b; a)\) 或 \ ((b; -a)\).

直线平行如果：
\({a1 \over b1} = {a2 \over b2}\)。

一点到一条线的距离（注意：距离可以是负数，这完全取决于点位于线的哪一侧）：
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
其中x1, y1是点的坐标。

法向量加点，或者方向向量加点，归结起来就是2个点做直线，我们来看一下（也是最常用的).

如果 x1, y1, x 2, y2 - 分别是第一点和第二点的坐标，则

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

十字路口

a1, b1, c1 - 第一行的系数，
a2, b2, c2 - 第二行的系数，
x, y - 交点。

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

我们已经知道如何检查直线的交点（它们不平行），并找到它们的交点。

现在让我们学习如何使用段来做到这一点。 

首先，让我们学习如何简单地检查它们的交集。

线段相交 如果一个线段的末端位于另一个线段的相对侧，反之亦然（这很容易通过叉积检查）。  唯一不起作用的情况 - 线段位于一条直线上。 为此，您需要检查所谓的交点。 bounding box（线段的边界框）- 检查线段投影在 X 和 Y 上的交点。

既然我们知道如何检查线段是否相交，让我们学习如何找到它们相交的点（或线段）：
- 如果它们不相交，那么很明显这样的点不存在；
- 否则，我们将构建这些线段所在的直线。

如果它们是平行的，那么线段位于同一条线上，我们需要找到相交线段 - 从线段左边界的最大值到右边界的最小值（点小于另一个点，如果它在左边，在相等的情况下 X-coordinates - 如果它更低）。